Експерименти със смеси и сплави: симплексни решетки.

QstatLab позволява да се съставят симплексни решетки на Шефе за брой на компонентите на сместа от 3 до 15 и ред на модела от 1 до 10.

Пример1. Разглежда се смес с 4 компоненти: х1,х2,х3,х4 и четири показателя на качеството: у1,у2,у3,у4. Компонентите са свързани с условията:

 за  и 

а към показателите на качеството са поставени следните изисквания: ; . С помощта на QstatLab е построена симплексна решетка на Шефе по която са изпълнени следните опити:

Опити от 11 до 14 са „контролни опити“ и улесняват статистическия анализ на моделите.

По тези данни с помощта на програмата за регресионен анализ за смеси са получени адекватни регресионни модели за 4-те свойства, които записани в QstatLab изглеждат така:

 

След това с програма за оптимизация е намерен оптимален режим, при който се търси минимум на Y4 при наложените ограничения на всички показатели на качеството. Намерен е оптимален режим, представен в следния прозорец:

При оптималните стойности на факторите са начертани триъгълни (симплексни) диаграми с линии на постоянни стойности, две от които изглеждат така:

 

                      

Х4 = 0.6944                                                                  Х3 = 0,1805

Анализ на експерименти със смеси при двустранни ограничения на компонентите на сместа

Търси се максимум на показател на качеството y при следните ограничениа на 4 компоненти на сместа:

С помощта на QstatLab e генериран план при зададените ограничения, който е изпълнени по получените резултати с помощта на програмата за регресионен анализ при смеси е получен модел. Планът, резултатите от опитите и модела са следните:

С помощта на модела могат да се чертаят контурни диаграми, две от които са следните:

С помощта на програмата за оптимизация на QstatLab е намерен максимум на показателя Y, който се получава при следния състав на сместа:

Начертана е контурна диаграма при оптималната стойност на Х4 = 0.08. Тя изглежда така:

Използване на псевдокомпоненти при ограничения в симплекса

Разглежда се задача с три компоненти на сместа, на които от технологични съображения са наложени следните ограничения: . В симплекса те очертават ограничена симплексна подобласт с върхове:

Тя изглежда така:

С помощта на QstatLab e съставена симплексна решетка, която автоматично е трансформирана в оригинални компоненти, за да се изпълнят опитите. В таблицата, която следва с z1,z2,z3 са означени псевдокомпонентите, с x1,x2,x3 – оригиналните компоненти. Показателят на качеството е означен с у. Планът и резултатите от опитите са показани в следната таблица:

По тези данни е съставен регресионен модел:

y = 21z1+41z2+26z3+28z1z2+14z2z3+6z1z3,

с помощта на който може да се начертае контурна диаграма както следва:

При движението на курсора по диаграмата координатите на точката на курсора могат да се отчитат както в псевдокомпоненти, така и в натурални стойности на компонентите. Може да се намери оптимален състав на сместа ( в случая е търсен максимум на у), който също се появява в натурални и псевдо-компоненти:

Може да се начертае контурна диаграма с нанесено на нея оптимално решение. По-долу тя е дадена в псевдокомпоненти.

Същото решение може да се намери, ако моделът е изведен в оригинални компоненти. Той е:

y = 42,375x1-67,625x2-312,625x3+150x1x2+700x2x3+350x1x3

Контурната диаграма в оригинални компоненти с нанесения на нея оптимален режим е:

Планиране и анализ на експерименти със смеси с едновременно участие на компоненти на сместа и независими променливи

В тази задача има два вида фактори:

·        Компоненти на сместа. Да предположим, че има q компоненти на сместа. За тях са валидни условията:

,                                                                               (1)

 

и                                                                                             

                                                                                                      (2)

 

Условието (2) прави компонентите на сместа линейно зависими.

·        Променливи на процеса. Те са линейно независими и за тях не е приложимо условието (2). Ако броят на тези променливи е r то те се изменят в границите:

                  -1 < xi < 1, i = q+1, q+2, ..., m                                                                        (3)

Общият брой на факторите е: m = q+r

 

Планиране на експерименти с линейно зависими и независсими фактори

Използва се следната процедура:

1.  Комбинират се план за независими фактори (променливи на процеса) със симплексна решетка или някой от другите планове за смеси (може и с ограничения - Мак-Лийн и Андерсън или псевдокомпоненти). Например, ако имаме три линейно зависими фактора (компоненти на сместа) -  и две независими променливи -  комбинираният (кръстосаният) план може да се представи графично по следния начин:

 

Този план ще има 6х9 = 54 опита.

Тъй като броят на комбинациите обикновено става прекалено голям след това се пуска процедурата за генериране на D-оптимални планове, като точките на плана се търсят само между т.н. „кандидат-точки“. Това са точки с координатите на комбинациите съставени както е показано по-горе. Задава се определен брой опити и се спира когато той се достигне.

Пример. Да предположим, че желаем да генерираме план на експеримента от втори ред за смес с 3 линейно зависими фактора (q =3) и два линейно незавсисими (r = 2). Построяването става по следния начин. За линейно зависимите фактори ще използваме симплексна решетка от втори ред с централна точка (общо 7 точки) и за независимите фактори – оптимален композиционен план (9 точки). Построяването на плана става на два етапа:

1.  С помощта на програмата „CROSS: Кръстосан“ най-напред построяваме план с 7х9 = 63 точки. Това са т.н. „Кандидат-точки“.

 

2.  С помощта на програмата за генериране на D- оптимални планове: „DOPT: Д-оптимален“ от тези 63 точки избираме желан от нас брой опити, така че да се получи план с най-добри характеристики по критерия D-оптималност. За избрания пример приведен полином от втора степен има 15 коефициента:

  

За да получим възможност за статистически анализи трябва броят на опитите да бъде по-голям от броя на коефициентите в модела. Затова избираме план с 20 точки, които ще бъдат избрани измежду „кандидат-точките“ намерени на първия етап. Прилагайки процедурата за генериране на D-оптимални планове намираме план с 20 опита както следва:

 

Пример. Изследва се якостта на натиск на бетон на 28 ден от създаването му (y, MPa).

 

При експеримента са изменяни три компоненти на смес, сумата на които трябва да е винаги 1:

 

 

За единица е приета стойността 1000 kg. Освен това е изменяно количеството цимент което варира независимо в границите от 300 до 400 kg. Ще разглеждаме цимента като независима променлива, която в плана в кодиран мащаб се изменя в границите . В състава има още вода, която е винаги в постоянно количество равно на 200 kg. Затова водата не се включва в модела.

Задачата е решена като са изпълнени следните стъпки:

• Съставен е план на експеримента за зависимите променливи, като се използва програмата EXTVERT: Планове с двустранни ограничения на компонентите. Геометрично той изглежда така:

• Съставя се кръстосан план. Той е с 26 опита и е следният:

 

 

• След изпълнение на опитите е построен адекватен регресионен модел:

 

 

• С помощта на оптимизационна процедура е намерен  оптимален състав, който осигурява максимум на якостта на 28-ия ден:

 

• Начертана е контурна диаграма с линии на постоянни стойности, на която е посочен оптималният състав, получен при количество на цимента х4 = -1 (в натурални единици е 200 kg):

Пример 2. (с псевдокомпоненти) Изследва се модулът при 300 %, y (kg/cm2) на каучукови смеси. В изследването участват три линейно зависими фактора: естествен каучук (х1), стандартен малайзийски каучук SMR (х2) и бутадиенстиролов каучук БСК (х3). За поевтиняване на рецептурата е наложено следното условие: х3 > 0,5. Освен това в изследването са включени и три независими фактора: масло (х4), пиролен (х5) и сантокюр MOR (х6). За независимите фактори са приети следните интервали на вариране (всички променливи се измерват в масови части (м.ч)):

 

	Масло (м.ч.)	Пиролен (м.ч)	Сантокюр (м.ч.)
Основно ниво (	3	8	1,3
Интервал на вариране	3	3	0,3
Горно ниво	6	11	1,6
Долно ниво	0	5	1,0

 

Ограничението х3 > 0,5 определя симплексна подобласт. Нейните върхове са с координати: S1 (0,5; 0; 0,5),S2 (0; 0,5 , 0,5) и S3 (0; 0; 1):

 

Построен е кръстосан план с 90 точки, от тях с процедурата за генериране на D-оптимални планове са избрани 26 опита. Те са изпълнени. Резултатите от опитите са показани в следната таблица (линейно зависимите фактори са в псевдокомпоненти):

 

 

С помощта на регресионният анализ за задачи със смеси е получен следният регресионен модел:

 

 

Извършена е оптимизация, при която е търсен максимум на целевата функция.  Резултатите от нея са показни както в псевдокомпоненти, така и в натурални компоненти в следния прозорец:

 

 

Симплексната диаграма с нанесения на нея оптимален режим изглежда така:

 

 

Тя е начертана при оптималните стойности на линейно независисмите фактори.

Могат да се начертаят и двумерни контурни диаграми по комбинации от два независими фактора при всички останали фактори фиксирани на оптималните им стойности. Три от тях изглеждат така: